ma2business.ru
Главная »

Простые и сложные проценты | Расчетные формулы, примеры

Банковское право

Что такое простые и сложные проценты и чем они отличаются?

Концепция простых и сложных процентов — один из самых важных уроков финансовой грамотности, который вы должны усвоить. Они встречаются в нашей жизни повсюду: от ежедневных покупок (кэшбэк, бонусы) до инвестирования (депозитные проценты, дивиденды, комиссии и т. д.) и оказывают незаметное, но существенное влияние на ваш кошелек в долгосрочной перспективе. Чтобы наглядно увидеть разницу между простыми и сложными процентами, давайте рассмотрим несколько примеров.

Простые проценты - прибыль в % начисляется только на начальную сумму вклада и сразу снимается.

Допустим, вы открыли депозит на 10 000 долларов под 10% годовых, проценты начисляются раз в год. По простой процентной схеме каждые 12 месяцев вы будете получать 1000 долларов прибыли, но она не остается на депозите и тут же снимается. В результате прирост прибыли будет выглядеть так:

Все «просто» — каждый год плюс тысяча в кармане. Простые проценты используются, когда процентная база не меняется. Это могут быть специальные банковские вклады, проценты по кредиту. Также простые проценты используются, когда инвестор регулярно выводит прибыль – первоначальная сумма работает в каждый период времени.

Сложные проценты — проценты начисляются на первоначальную сумму депозита плюс всю полученную прибыль. Понятия «реинвестирование» и «капитализация» по сути означают использование сложных процентов.

Для сравнения пусть будет тот же депозит 10000$ под 10%, но в этот раз банк позволяет оставить прибыль на счете. Вот что происходит с депозитом через 10 лет:

В первый год разницы нет - это все та же тысяча, но так как сумма на депозите теперь растет, то во второй год прибыль увеличивается: 2100$ вместо 2000$, в третий год 3310$ вместо 3000$ и так далее. . За 10 лет доходность нашего депозита составила 159% вместо 100%, когда мы выводили прибыль. Неплохая прибавка, правда? А вот что будет через несколько десятков лет:

Впечатляющий! Чем дольше открыт вклад, тем сильнее работает эффект сложных процентов — за 50 лет можно увеличить вклад не в 6, а более чем в 100 раз. Вот как это выглядит на графике:

Без капитализации депозит растет линейно, а с капитализацией - экспоненциально

Теперь киношные истории о забытых банковских счетах с накопленными миллионами долларов выглядят вполне реально :) Конечно, 50 лет - это долго, но правило сложных процентов хорошо работает и на более коротких промежутках времени - все зависит от доходности вклада . Если вы хотите зарабатывать больше, вам следует использовать более выгодные способы инвестирования: акции, драгоценные металлы, криптовалюты, валютный рынок и так далее.

Думаю суть понятна, теперь пройдемся по математической стороне вопроса, а затем рассмотрим несколько типичных примеров задач.

⬆️ К СОДЕРЖАНИЮ ⬆️

Формулы простых и сложных процентов

Поскольку при расчете прибыли по банковским вкладам чаще всего используются простые и сложные проценты, продолжим на их примере. Для решения задач нам потребуется следующая информация:

  • K0 – начальная сумма депозита;
  • К – окончательная сумма депозита;
  • R — доходность, переведенная из процентов в число (10% = 0,1);
  • N – количество периодов (лет).

Формула простых процентов

По этой формуле мы можем рассчитать окончательную сумму депозита без капитализации полученной прибыли. Для этого нужно знать начальную сумму вклада, процентную ставку за 1 инвестиционный период и временной интервал. Если окончательная сумма дается сразу и вам нужно найти другую неизвестную переменную, используйте формулы производных простых процентов:

Формула сложных процентов

По этой формуле мы можем рассчитать окончательную сумму депозита с учетом капитализации полученной прибыли, зная начальный депозит, процентную ставку и желаемый временной интервал. Для решения задач также можно использовать производные формулы сложных процентов:

На практике зачастую начальным депозитом дело не заканчивается – многие пользуются регулярным пополнением, например, делают регулярные инвестиции из своей зарплаты. В этих случаях формула сложных процентов становится длиннее:

Где Д - сумма регулярного пополнения банковского вклада. Обратите внимание, что степень N-1 означает, что пополнения начинаются со второго инвестиционного периода (если сумма дополнительных вложений выплачивается сразу, то N-1 меняется на N).

Что ж, удачи на экзаменах всем читающим меня ученикам :) Для дальнейшего закрепления разберем несколько примеров задач на сложные проценты.

⬆️ К СОДЕРЖАНИЮ ⬆️

Примеры решения задач на сложные проценты

В этом разделе мы рассмотрим некоторые типичные проблемы сложных процентов. Вы также найдете шаблоны расчетов в Excel, в которых вы можете изменить входные данные и получить нужное вам решение.

Задание №1. Рассчитать прибыль по вкладу на 5 лет под 10% годовых, начальная сумма вложений 100 000 рублей (с капитализацией).

Находим окончательную сумму вклада по формуле сложных процентов:

Рассчитываем прибыль:

Результат: инвестор через 5 лет получит 61 051 рубль прибыли.

Задание №2. Рассчитайте прибыль по депозиту на 10 лет под 10% годовых с капитализацией. Начальная сумма вложения 50 000 рублей, дополнительно каждый год, начиная с первого счета, пополняется на 10 000 рублей.

Сначала находим итоговую сумму по формуле сложных процентов с регулярным пополнением:

Учитывая, сколько было вложено за 10 лет (50 000 сразу и еще 9 раз по 10 000), рассчитываем прибыль:

Результат: инвестор через 10 лет получит 139 061 руб. прибыли, вложив 140 000 руб.

Задача №3. Рассчитайте, сколько времени потребуется инвестору, чтобы увеличить капитал с 500 000 до 1 000 000 рублей. Средняя доходность портфеля составляет 12% годовых, прибыль реинвестируется.

У нас есть все необходимые данные, используем одну из формул производных сложных процентов:

Решение: инвестору понадобится чуть больше 6 лет.

Задание № 4. Рассчитайте среднюю процентную ставку, которая позволит вам превратить 100 000 рублей в 500 000 рублей за 10 лет путем инвестирования. Прибыль реинвестируется.

Воспользуемся одной из формул производных сложных процентов:

Решение: инвестору нужно вложить деньги под 17,5% годовых (кстати, довольно сложно на практике).

Я думаю, этого достаточно. Если ваша задача не похожа ни на одну из предыдущих, вам может помочь информация из следующего раздела статьи.

⬆️ К СОДЕРЖАНИЮ ⬆️

Калькулятор сложных процентов в Excel

Конечно, задачи на сложные проценты целесообразнее решать в MS Excel по уже известным вам формулам из предыдущих разделов. По ходу статьи вы уже могли скачать несколько примеров типовых задач, но если этого недостаточно, предлагаю полную подборку калькуляторов сложных процентов, реализованных в одном файле Excel. Вы можете получить его бесплатно, просто заполните форму ниже:

Если вы не получили письмо, проверьте папку «Спам», иногда оно попадает туда. Если вы не видите форму подписки, оставьте комментарий к статье, и я добавлю ваш адрес электронной почты вручную.

Вот задачи на простые и сложные проценты, которые может решить «Сборник калькуляторов для инвестора»:

  • Расчет окончательной суммы депозита;
  • Расчет первоначальной суммы депозита;
  • Расчет необходимой процентной ставки;
  • Расчет инвестиционного периода;
  • Расчет окончательной суммы депозита с учетом регулярного пополнения и капитализации;
  • Ожидаемый пассивный доход в каждом случае.

В дальнейшем планирую добавить много калькуляторов на самые разные темы, оставляйте свои пожелания в комментариях!

Пример одного из калькуляторов расчета сложных процентов в Excel:

В дополнение к каждому калькулятору автоматически строится график доходности депозита с капитализацией и без:

А также уже знакомые вам таблицы:

Думаю файл будет полезен как для практического использования, так и для образовательных целей - там есть все формулы в готовом виде, которые можно использовать для расчета сложных процентов в Excel.

⬆️ К СОДЕРЖАНИЮ ⬆️

Как использовать сложные проценты в инвестировании

Как вы уже знаете, окупаемость инвестиций — важный инструмент, который на большом расстоянии может во много раз преумножить отдачу от ваших инвестиций. Метод реинвестирования прибыли называется реинвестированием.

Статья по теме: Как деньги делают еще больше денег или Что такое реинвестирование

Конечно, каждый инвестор должен использовать эффект сложных процентов, но на практике это не так просто, как кажется. Есть несколько проблем, которые мешают теоретически сверхдоходному реинвестированию реализоваться в реальных условиях. Например, вряд ли вы слышали о людях, которые стали миллиардерами благодаря банковским вкладам. Дело в том, что деньги постоянно обесцениваются из-за инфляции — постоянного роста цен на товары и услуги. На самом деле ставка по банковским депозитам обычно примерно равна инфляции или даже ниже, поэтому реальная доходность по депозитам не впечатляет:

Источники: statbureau.org, cbr.ru

Даже если выйти из успешного безкризисного периода 2010-2020 годов, доходность банковского вклада с учетом инфляции была в районе 1-2% годовых в рублях. Не говоря уже о доходности в долларах, которая после 2014 года явно находится в еще более отрицательной зоне.

Помимо инфляции, на конечную доходность инвестиций могут сильно повлиять различные комиссии. Если их размер зависит от суммы инвестиций, убытки накапливаются по правилу сложных процентов, но с отрицательным эффектом. Это означает, что за несколько десятков лет инвестор может потерять сотни, а то и тысячи процентов прибыли.

Это распространено при инвестировании в ETF, где плата за управление достигает нескольких процентов от депозита в год. Один из старейших ETF под тикером SPY (инвестиционная стратегия — по индексу S&P 500) работает с 1993 года и взимает с клиентов 0,09% в год — немного по сравнению с другими биржевыми фондами. Эта ставка может меняться со временем, но ради эксперимента представим, что так было всегда — и сравним, как будет отличаться возврат инвестиций при комиссиях от 0 до 2% в год:

Источник: www.investing.com

Как видите, даже из-за несчастных 0,09% инвестор потерял 25% прибыли на дистанции 27 лет. И вроде небольшая комиссия в 2% годовых снижает доходность почти в 3 раза - с 723% до 270%, и это еще без учета инфляции. Из-за скрытых комиссий высокая доходность активов на самом деле может быть ниже в несколько раз, поэтому важно учитывать даже мизерные расходы перед принятием инвестиционного решения.

Куда следует инвестировать, чтобы максимизировать эффект сложных процентов и минимизировать влияние инфляции и комиссий? Я бы выделил следующие инструменты:

  • Акции, особенно акции США. Сейчас это один из немногих активов, которые растут большую часть времени. Кроме того, многие компании выплачивают дивиденды, которые можно реинвестировать для дальнейшего увеличения сложных процентов. Плюс рост цен на сами акции способен блокировать влияние инфляции, а комиссии зависят от объема торгов, а не от вашего вклада. Взгляните на самых богатых людей планеты — почти каждый сделал состояние, владея большим количеством акций своих компаний.
  • Инвестиционные фонды (включая ETF). Чаще всего это тоже инвестиции в акции, но вам не нужно самостоятельно подбирать портфель — за вас все сделают аналитики фонда. Если в портфеле фонда есть дивидендные акции, вы снова сможете реинвестировать выплаты. Плата за участие ниже 1% в год не окажет катастрофического влияния на возврат ваших инвестиций.
  • Облигации. Обычно они дают несколько более высокую доходность, чем банковский вклад, и способны приносить небольшую прибыль с учетом инфляции практически без риска. В любом случае в вашем инвестиционном портфеле должны быть надежные долгосрочные вложения, и облигации как нельзя лучше подходят для этой цели. Затраты на инвестирование в облигации идут на услуги биржевого маклера и не зависят от общего объема инвестиций.

Оптимальный портфель инвестора предполагает использование всех этих инструментов, так как генерируемый ими денежный поток позволяет гибко управлять вложениями: ребалансировать, выводить прибыль или реинвестировать. Вы можете использовать правило сложных процентов в любых инвестициях, но не рекомендуется делать это везде. Чем выше инвестиционные риски, тем выгоднее просто вывести прибыль, так как в случае неудачных раскладов депозит может быть потерян.

⬆️ К СОДЕРЖАНИЮ ⬆️

Использование сложных процентов теоретически очень выгодно, но, как всегда, дьявол кроется в деталях. Тем не менее реинвестирование/капитализация остается одним из основных инструментов накопления крупного капитала, грех его игнорировать. И даже за пределами инвестирования распространены простые или сложные проценты, поэтому полезно знать, как все это работает. Надеюсь, подробный разбор формул и решения задач будет вам полезен.

Удачных вам инвестиций и берегите себя!

Вам также может понравиться
Рубрики
Популярное